sphärische Kugelpackungen; das Tammes Problem; platonische Körper
Bei Forschung im Bereich Sternentwicklung – Elementensynthese bin ich auf folgendes Problem gestoßen. Es existieren keine stabilen Elemente mit einer Massenzahl von 5 und 8, keine mit einer Neutronenanzahl von 19. Dann gibt es in der Physik der Atomkerne noch die “magischen” Zahlen 2, 8, und 20.
Wie sind die Elementarteilchen angeordnet?
Ein Kraftfeld (die starke Kernkraft) mit Abstandsgesetz 1/r^k , k > 3 hält Kernteilchen, Protonen (elektromagnetische Kraft 1/r^2 ) sowie Neutronen (mit magnetischen Moment) im Atomkern zusammen.
Vereinfacht gedacht: sich abstoßende Kugeln gefangen in einer kugelförmigen Potentialfalle.
Welche Konfigurationen nehmen jeweils n-Kugeln in dieser kugelförmigen Falle auf minimalem Potential an? (n = Anzahl der Kugeln)
Auf der Suche nach Antworten, z.B. mit Experimenten von sich abstoßenden Magneten in einer durchsichtigen Kugelschale, ergeben sich erste Hinweise.
– Die Suche gilt dem größtmöglichen Radius für jeweils n sich berührende Kugeln und deren Lage auf einer Kugel.
– Die platonischen Körper bilden nicht immer die optimale Anordnung. Für das Tetraeder mit 4 Ecken, das Oktaeder mit 6 und das Ikosekaeder mit 12 Ecken ist eine optimale Anordnung gegeben. Beim Würfel mit 8 und Dodekaeder mit 20 Ecken ist es nicht der Fall.
– Die Eckpunkte sind gleichzeitig die Mittelpunkte von Kugeln die sich auf parallelen
Schnittebenen auf einer Kugeloberfläche abbilden lassen. Bis n < 19 sind dazu maximal sechs Schnittebenen nötig.
Meine Konstruktionen gehen von Kugelmittelpunkten auf der Einheitskugel r = 1 aus.
42 Körper sind so bis n = 24 entstanden und mit 3-D Druck realisiert worden.
Sind darin aber alle optimalen Anordnungen enthalten?
Da kommt ein Tipp – das Tammesproblem
Einem Biologen hatte sich diese Problematik schon im Jahr 1930 gestellt – die Verteilungen von runden Poren auf Pollen.
Mit Hilfe von Computern ist das Problem heute auch für größere n gelöst.
(Numerical Solutions of the Tammes Problem for up to 60 Points By Laszlo Hars 2020)
Die Lösungen für n = 19 wäre ohne diesen Ansatz wahrscheinlich noch nicht gefunden.
Der Film „Kugeln um Kugel“ beleuchtet die optimalen Konfigurationen von
n = 1 bis n = 20, also den Bereich der platonischen Körper.
Die nötigen Umkonfigurationen von Würfel, Dodekaeder und Kuboktaeder sind mit enthalten.
Die Musik stammt vom Projekt Megaboom – ein Remix vom Track „Allkugeltrain“ von Rio.
Daten zum im Film gezeigten Körpern
